Олимпиадная задача по планиметрии: радиус окружности, касательной к хорде
Задача
В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда AB=8. Точка C лежит на хорде AB так, что AC:BC=1:2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C .
Решение
Пусть E — проекция центра O данной окружности на хорду AB . Тогда E — середина AB и
OE=
=
=3.
Если искомая окружность с центром Q и радиусом r касается данной в точке D , то
OQ = OD-QD = 5-r, CE=AE-AC=4-
· 8=
.
Пусть F — проекция точки O на прямую QC . Тогда OFCE — прямоугольник, поэтому CF=OE=3и OF=CE= .
Рассмотрим случай, когда точки O и Q лежат по разные стороны
от прямой AB (рис.1). Тогда QF = QC+CF=QC+OE = r+3. По
теореме Пифагора OQ2=QF2+OF2, или(5-r)2=(r+3)2+
. Из этого уравнения находим,
что r=
.
Если же точки O и Q лежат по одну сторону от прямой AB (рис.2), то аналогично получим уравнение(5-r)2=(r-3)2
+ , из которого найдём, что x=
.
Ответ
или .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь