Олимпиадная задача по математике: параллелограмм, треугольники, планиметрия 8

Олимпиадная задача по планиметрии для 8 и 9 класса: параллелограмм и треугольники

Задача

Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60°. На двух его противоположных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120° при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

Решение

Пусть угол при вершине A параллелограмма ABCD равен 60°; M i> AB=1, BC=2. В равнобедренных треугольниках ADE и BCF известно, что

AED = BFC = 120^o, AE=DE=BF=FC= = .

Заметим, что четырёхугольник BEDF — параллелограмм, т.к. его противоположные стороны BF и DE равны и параллельны. Значит, его диагональ EF проходит через середину O диагонали BD , т.е. через центр параллелограмма ABCD .

В треугольнике ABD сторона AB вдвое меньше стороны AD , а BAD = 60^o , поэтому ABD = 90^o . Тогда

BD=AB· tg 60^o=1· = , BO = BD = ,

CBD = ABC - ABD = 120^o-90^o= 30^o,

DBF = CBD+ CBF = 30^o+30^o= 60^o.

Из треугольника OBF по теореме косинусов находим, что

OF = = = .

Следовательно,

EF=2OF = 2=.

Рассмотрим теперь равнобедренные треугольники ALB и CKD с углами120^o при вершинах L и K . Рассуждая аналогично, докажем, что O — середина KL . Из треугольника OKD по теореме косинусов найдём, что