Олимпиадная задача по планиметрии: вписанный четырёхугольник и касательные

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD , E — отличная от D точка пересечения прямой BD с окружностью S2. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

ACE = CDE = CDB = CAB

(вписанные в окружность углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу). Значит, CE || AB .

При гомотетии с центром O , переводящей точку C в точку A , точка E переходит в B , причём коэффициент этой гомотетии отрицателен. Окружность s2переходит в некоторую окружность s , проходящую через точки A и B . Градусная мера дуги AB окружности s1равна градусной мере дуги CE окружности s2, т.к.

AB = 2 BAC = 2 BDC = 2 EDC= CE.

Поэтому окружность s1совпадает с s . Таким образом, окружности s2и s1гомотетичны с центром O и отрицательным коэффициентом, модуль которого равен отношению радиусов окружностей. Следовательно, общие внутренние касательные окружностей s1и s2пересекаются в точке O . Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует