Олимпиадная задача по планиметрии: углы в треугольнике O₁AO₂ — 8, 9 класс

Один из смежных углов равен60^o , а второй —120^o . Пусть окружность с центром O1радиуса r вписана в угол, равный60^o , а окружность с центром O2радиуса r — в угол, равный120^o (рис.1), причём окружности касаются прямой, содержащей дополнительные стороны этих углов, в точках B и C соответственно. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому

O1AB = 30^o, O2AC = 60^o, O1AO2=90^o.

Из прямоугольных треугольников O1AB и O2AC находим, что

AO1=2O1B=2r, AO2== =2r.

Треугольник O1AO2— прямоугольный и равнобедренный, следовательно, его острые углы равны по45^o . Пусть теперь окружность с центром O1радиуса r вписана в угол, равный120^o , а окружность с центром O2радиуса r — в угол, равный60^o (рис.2), причём окружности касаются прямой, содержащей дополнительные стороны этих углов, в точках B и C соответственно. Из прямоугольных треугольников O1AB и O2AC находим, что

AO1==, AO2=2O2C=2r.

Следовательно,

tg AO1O2 = = =3, tg AO2O1=.

90^o ,45^o ,45^o или90^o , arctg 3, arcctg 3.