Олимпиадная задача по планиметрии: вычисление EF в треугольнике ABC, классы 8-9
Задача
В треугольнике ABC AB=14, BC=6, CA=9. Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=1:9. Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
Решение
Докажем сначала следующее утверждение. Если окружность, вписанная
в треугольник KLM , касается его стороны MK в точке P , то MP = 
(MK+ML-KL).
Доказательство.}Пусть Q и R — точки касания вписанной
окружности треугольника KLM со сторонами ML и KL соответственно
(рис.1). Тогда
MQ=MP, KP= KR, LQ=LR,
KL=KR+LR=KP+LQ=(MK-MP)+(ML-MQ)=
=MK+ML-(MP+MQ)=MK+ML-2MP.
(MK+ML-KL), что и требовалось
доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть вписанные окружности треугольников ADC и ABD касаются отрезка AD в точках E и F соответственно,
причём точка D лежит на отрезке BC (рис.2).
Тогда по доказанному
AE=(AD+AC-CD),
AF=(AD+AB-BD),
EF=|AF-AE|=|(AD+AB-BD)-(AD+AC-CD)|=
=|AD+AB-BD-AD-AC+CD|=
|AB-AC-BD+CD|=
=|AB-AC-
BC+
BC|=
|AB-AC+
BC|=
|14-9+· 6|=
.
Пусть теперь точка D лежит вне отрезка BC (рис.3). Тогда она лежит на продолжении отрезка BC за точку B . Аналогично предыдущему случаю
EF=|AF-AE|=
|AB-AC-BD+CD|=
=|AB-AC-
BC+
BC|=
|AB-AC+BC|=
|14-9+ 6|=
.
Ответ
4,9 или 5,5.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь