Олимпиадная задача по планиметрии: угол MXN в равнобедренном треугольнике, 8–9 класс
Задача
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC с углом 44° при вершине взяты такие точки M и N, что AM = BN = AC. Точка X на луче CA такова, что MX = AB Найдите угол MXN.
Решение
На луче AC отложим отрезок AY, равный AB. Тогда треугольник AYM равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними. Значит,
∠AYM = 44° и MY = AB = XM. Треугольник XMY – равнобедренный, поэтому ∠YXM = ∠XYM = 44°. Пусть Z – точка, симметричная точке M относительно прямой AC. Тогда AZ = AM = BN и ∠ZAB + ∠B = 2∠A + ∠B = 180°.
Следовательно, ABNZ – параллелограмм. Значит, ZN = AB = XM = XZ, то есть треугольник XZN – равнобедренный. Кроме того,
∠AZN = ∠ABN = 44°, ∠A = 68°.
По теореме о внешнем угле треугольника ∠AZX = ∠AMX = ∠MAC – ∠YXM = 24°, ∠XZN = ∠AZX + ∠AZN = 68°.
Из равнобедренного треугольника XZN находим, что ∠ZXN = 56°, значит, ∠CXN = ∠ZXN – ∠ZXC = 12°.
Следовательно, ∠MXN = ∠MXC – ∠CXN = 32°.
Ответ
32°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь