Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 4-5 с решениями

Основанием пирамиды <i>ABMCP</i> сужит выпуклый четырехугольник <i>ABMC</i>, в котором угол при вершине <i>A</i> равен $\pi$/6, длина ребра <i>AB</i> равна единице . Площадь треугольника <i>BMC</i> в два раза больше площади треугольника <i>ABC</i>. Сумма длин ребер <i>BP</i> и <i>CP</i> равна $\sqrt{7}$. Объем пирамиды равен 3/4. Найдите радиус шара, имеющего наименьший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>ABMCP</i>.

Основанием пирамиды <i>THPCK</i> служит выпуклый четырехугольник <i>THPC</i>, который диагональю <i>HC</i> делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра <i>TH</i> равна <!-- MATH $4, {\rm ctg }\angle HCP = \sqrt{2}$ --> 4, <i>ctg</i>$\angle$<i>HCP</i> = $\sqrt{2}$. Сумма длин ребер <i>TK</i> и <i>CK</i> равна 4. Объем пирамиды равен <!-- MATH $5\frac{1}{3}$ --> 5${\frac{1}{3}}$. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди шаров, помещающихся в пирамиде <i>THPCK</i>.

Основанием пирамиды <i>MBKHE</i> служит выпуклый четырехугольник <i>MBKH</i>, в котором угол при вершине <i>M</i> равен $\pi$/2, угол, образованный диагональю <i>BH</i> и ребром <i>BK</i>, равен $\pi$/4, длина ребра <i>MB</i> равна 1. Площадь треугольника <i>BKH</i> в два раза больше площади треугольника <i>MBH</i>. Сумма длин ребер <i>BE</i> и <i>HE</i> равна $\sqrt{3}$. Объем пирамиды равен 1/4. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>MBKHE</i>.

Основанием пирамиды <i>ABCEH</i> служит выпуклый четырехугольник <i>ABCE</i>, который диагональю <i>BE</i> делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра <i>AB</i> равна 1, длины ребер <i>BC</i> и <i>CE</i> равны между собой. Сумма длин ребер <i>AH</i> и <i>EH</i> равна $\sqrt{2}$. Объем пирамиды равен 1/6. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>ABCEH</i>.

Два равных конуса с общей вершиной лежат на плоскости<i> α </i>. Угол между высотой и образующей каждого конуса равен<i> γ </i>, угол между высотами конусов равен<i> β </i>, причём<i> β + γ < </i>90<i>^o </i>. Найдите угол между образующей, по которой один из конусов касается плоскости<i> α </i>, и плоскостью основания другого конуса.

На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.

Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен60<i>^o </i>. Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.

Два равных конуса с общей вершиной касаются друг друга и некоторой плоскости<i> α </i>. Пусть<i> l </i>– прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Найдите угол между прямой<i> l </i>и плоскостью<i> α </i>, если высота каждого конуса равна 2, а радиус основания равен 1.

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.

На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найдите радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>ABC</i> = 20°.  На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  ∠<i>PAC</i> = 50°  и  ∠<i>QCA</i> = 60°.

Докажите, что  ∠<i>PQC</i> = 30°.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Пусть <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>R</i> — центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>M</i>, <i>N</i>, и <i>K</i> — центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника <i>ABC</i> внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников <i>PQR</i> и <i>MNK</i> равна площади треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.

На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.

Даны окружность, две точки <i>P</i> и <i>Q</i> этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку <i>M</i>, чтобы прямые <i>MP</i> и <i>MQ</i> отсекали на данной прямой отрезок <i>AB</i> данной величины.

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.

<i>ABC</i> — данный разносторонний треугольник, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – точки касания его вписанной окружности со сторонами <i>BC</i>, <i>AC</i>, <i>AB</i> соответственно, <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ — точки, симметричные точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <!-- MATH $A_{2}C_{2} \parallel AC$ --> <i>A&lt...

Через центр <i>O</i> окружности проведено <i>n</i> прямых. С помощью циркуля и линейки Постройте описанный около этой окружности <i>n</i>-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.

На плоскости даны 2<i>n</i> прямых, окружность и точка <i>K</i> внутри неё. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность (2<i>n</i> + 1)-угольник, одна сторона которого проходит через точку <i>K</i>, а остальные стороны параллельны данным прямым.

На плоскости даны 2<i>n</i> - 1 прямая, окружность и точка <i>K</i> внутри окружности. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность 2<i>n</i>-угольник, у которого одна сторона проходит через точку <i>K</i>, а остальные параллельны данным прямым.

В интервале (0;$\pi$) дано <i>n</i> чисел: <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha_{2}$ --> $\alpha_{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$, при этом <!-- MATH $\alpha_{1}+ \alpha_{2}+\ldots+ \alpha_{n}= \pi (n-2)$ --> $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = $\pi$(<i>n</i> - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность <i>n</i>-угольник, внутренние углы которого равны соответственно <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha {2}$ --> $\alpha{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$. Когда построение возможно?

С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность <i>n</i>-угольник, стороны которого соответственно параллельны <i>n</i> данным прямым.

На плоскости дано <i>n</i> прямых (<i>n</i> — нечётно), пересекающихся в одной точке. С помощью циркуля и линейки постройте <i>n</i>-угольник, для которого эти прямые являются биссектрисами внешних или внутренних углов.

Из центра <i>O</i> окружности проведены <i>n</i> прямых (<i>n</i> — нечётно). С помощью циркуля и линейки постройте вписанный в окружность <i>n</i>-угольник, для которого данные прямые являются серединными перепендикулярами к <i>n</i> его сторонам.