Задача № 134905
Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 134904
Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, веса которых равны 370, 372, ... , 468 кг, на семи трёхтонках?
Задача № 134903
На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой – C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.
Задача № 134902
Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n – натуральные числа, 1 < m < n < 1986, не является целым числом.
Задача № 134901
В таблицу n*n записаны n2чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.
Задача № 134900
Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?
Задача № 134899
Докажите, что число разложений натурального числа n в сумму различных натуральных слагаемых равно числу разложений числа n в сумму нечетных (возможно, повторяющихся) натуральных слагаемых.
Задача № 134897
Назовем крокодилом шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых m и n можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в 2 цвета (для каждых конкретных m и n своя раскраска), что всегда 2 клетки, соединенные одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.
Задача № 134894
Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки.
Задача № 134893
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса
Задача № 134892
В ряд посажены 2000 деревьев - дубы и баобабы. К каждому дереву прибита табличка, на которой указано количество дубов среди следующих деревьев: дерева, на котором висит табличка, и его соседей. Можно ли по числам на табличках определить, какие из деревьев - дубы?
Задача № 134891
В квадрате 2000*2000 расставлены числа так, что в любом квадрате 2*2 сумма левого верхнего числа и правого нижнего числа равна сумме левого нижнего числа и правого верхнего числа. Докажите, что сумма чисел, стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах квадрата 2000*2000, равна сумме чисел, стоящих в двух других углах.
Задача № 134889
На плоскости дан невыпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние вершины n-угольника, разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A. Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины отрезка AB. При этом получится новый многоугольник (а если не получится, то такая операция не разрешена). Докажите, что с помощью таких действий можно получить выпуклый многоугольник.
Задача № 134888
Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 3n² + n + 1 при натуральном n?
Задача № 134887
Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.
Задача № 134886
Докажите, что если выпуклый многоугольник можно разбить на несколько параллелограммов, то он имеет центр симметрии.
Задача № 134883
а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9 ходов все фишки окажутся на одной прямой? б) А после 10 ходов?
Задача № 134882
По окружности, сделанной из проволоки, двигаются бусинки с одинаковой угловой скоростью, некоторые - по часовой стрелке, некоторые - против. При столкновении две бусинки разлетаются в разные стороны с прежними скоростями. Докажите, что в некоторый момент начальное расположение бусинок повторится.
Задача № 134881
а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник - квадрат. б) Докажите, что если в результате той же процедуры из n-угольника получится правильный n-угольник, то и исходный n-угольник - правильный.
Задача № 134879
В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой-либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
Задача № 134878
Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат?
Задача № 134877
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону. Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
Задача № 134875
Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 расположено 7 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки на расстоянии не больше 1.
Задача № 134873
В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре – в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять, найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.
Задача № 134872
О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.
7476–7500 из 7538