Пересечение трёх взаимно перпендикулярных цилиндров — олимпиадная зада
Задача
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса 
Решение
Пусть цилиндры задаются неравенствами (x – a)² + (y – b)² < 1, (y – c)² + (z – d)² < 1, (z – e)² + (x – f)² < 1. Заметим, что
(x – a)² + (x – f)² = 2x² – 2x(a + f)a² + f² > 2x² – 2x(a + f) + ½ (a + f)² = 2(x – ½ (a + f))². Аналогично
(y – b)² + (y – c)² > 2(y – ½ (b + c))², (z – d)² + (z – e)² > 2(z – ½ (d + e))². Сложив три неравенства, задающих цилиндры, и применив доказанные оценки, получим (x – ½ (a + f))² + (y – ½ (b + c))² + (z – ½ (d + e))² > 3/2. Это означает, что точка, лежащая внутри каждого из трёх цилиндров, лежит внутри сферы с центром в точке (½ (a + f), ½ (b + c), ½ (d + e)) и радиуса
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь