Олимпиадная задача о многоугольнике и построении правильных фигур
Задача
а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник - квадрат.
б) Докажите, что если в результате той же процедуры из n-угольника получится правильный n-угольник, то и исходный n-угольник - правильный.
Решение
Будем решать сразу задачу б). Очевидно, из правильного многоугольника A1A2...Anпосле продолжения сторон получится правильный многоугольник B1B2...Bn. Поскольку все правильные n-угольники подобны, то любой из них можно получить такой процедурой из некоторого правильного n-угольника. Осталось доказать, что по многоугольнику B1B2...Bnмногоугольник A1A2...Anопределяется однозначно.
Пусть многоугольник B1B2...Bnполучен указанным способом из многоугольника A1A2...An, и при этом точка A2- середина отрезка A1B1, точка A3- середина отрезка A2B2, точка A1- середина отрезка AnBn.
Докажем, что описанным в задаче способом ни из какого другого многоугольника, кроме A1A2...An, многоугольник B1B2...Bnне мог получиться. Поместим в вершины B1, B2,..., Bnгрузики массами 1,2,...,2nи покажем, что точка A1- центр масс этой системы.
Для этого поместим ещё в точку A1грузик массы 1. Теперь центр масс точек A1и B1находится в точке A2. Поэтому можно убрать массы из точек A1и B1, поместив массу 2 в точку A2.
Аналогично, уберем массы из точек A2и B2, поместив массу 4 в их центр масс - точку A3. В конце концов, центр масс окажется в точке A1. Значит, и центр масс исходной системы находится там же.
Поскольку центр масс определяется по системе масс однозначно, точка A1определена однозначно. Следовательно, и весь многоугольник A1A2...Anопределен многоугольником B1B2...Bn.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь