Квадрат 2000×2000 и равенство сумм углов — олимпиадная задача
Задача
В квадрате 20002000 расставлены числа так, что в любом квадрате 22 сумма левого верхнего числа и правого нижнего числа равна сумме левого нижнего числа и правого верхнего числа. Докажите, что сумма чисел, стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах квадрата 2000*2000, равна сумме чисел, стоящих в двух других углах.
Решение
Для каждого квадратика 22 рассмотрим равенство a+c=b+d, где a и с - числа, стоящие в левом верхнем и правом нижнем углах квадратика, а b и d - числа, стоящие в левом нижнем и правом верхнем углах. По условию это выражение равно 0. Если сложить все такие равенства для всевозможных квадратиков 22, содержащихся в квадрате 2*2, то все числа, кроме стоящих в угловых клетках, сократятся, и окажется, что сумма чисел, стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах большого квадрата, и сумма чисел, стоящих в его правом верхнем и левом нижнем углах, равны, что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь