Математическая задача о 2000 фишках и движении по прямой
Задача
а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9 ходов все фишки окажутся на одной прямой?
б) А после 10 ходов?
Решение
а) Если после n-го хода фишки оказались на одной прямой, то после (n-1)-го хода они должны были лежать на двух прямых, после (n-2)-го - на 4-х прямых, и т.д., а изначально - должны лежать на 2nпрямых. Поскольку никакие три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой, наименьшее число прямых, содержащих все вершины 2000-угольника, равно 1000. Значит, 2nне меньше 1000, откуда n не меньше 10, что решает пункт а).
б) Рассмотрим 1024 параллельные прямые, расстояния между соседними среди которых равно 1. Расположим на этих прямых вершины выпуклого 2000-угольника. Векторы сдвига будем брать перпендикулярными прямым и будем каждым ходом совмещать пары соседних прямых так, что через 10 ходов останется лишь одна прямая.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь