Минимальная сумма цифр числа 3n² + n + 1 — задача по олимпиадной матем

При  n = 8  сумма цифр числа  3n² + n + 1  равна 3. Убедимся, что меньше сумма цифр быть не может. Действительно, число  3n² + n + 1  нечётно и больше 1, поэтому сумма его цифр не может быть равна 1. Если она равна 2, то это число должно иметь вид  10^k + 1,  тогда  3n² + n = (3n + 1)n = 10^k.  Числа  3n + 1  и n взаимно просты, следовательно либо меньшее из них (n) равно 1, а  3n + 1 = 10^k,  либо  n = 2^k,  а  3n + 1 = 5^k.  Первый случай, как легко проверить, невозможен. Во втором случае значения  k = 0, 1  легко проверить непосредственно, а при  k ≥ 2  получаем, что  5^k2^–k > (⁵/₂)² > 4 > ³ⁿ⁺¹/_n.