Олимпиадная задача о двух сферах и равенстве проекций отрезков
Задача
На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой – C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.
Решение
Пусть E и F – общие точки сфер, лежащие соответственно на AC и BD, P и Q – центры сфер, G – точка, симметричная F относительно прямой PQ. Очевидно, G – также общая точка сфер, причём BG и DG – диаметры сфер. Будем обозначать через X' проекцию произвольной точки X на AC. Ясно, что что P' – середина хорды AE первой сферы, Q' – середина хорды EC второй сферы. В то же время P' – середина отрезка B'G' (так как P – середина отрезка BG), а Q' – середина отрезка G'D'. Отсюда легко следует, что AB' = G'E = D'C.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь