Превращение невыпуклого n‑угольника в выпуклый — олимпиадное задание
Задача
На плоскости дан невыпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние вершины n-угольника, разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A. Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины отрезка AB. При этом получится новый многоугольник (а если не получится, то такая операция не разрешена). Докажите, что с помощью таких действий можно получить выпуклый многоугольник.
Решение
Набор из n векторов, соответствующих сторонам n-угольника, после выполнения данной операции остается неизменным, изменяется лишь порядок следования этих векторов. Поэтому в результате проведения операций мы будем получать только многоугольники из конечного числа n-угольников (их не более (n-1)!=(n-1)*(n-2)...21), в которых векторы, соответствующие сторонам, образуют фиксированный набор. Если многоугольник невыпуклый, то найдется прямая, проходящая через две его несоседние вершины, относительно которой n-угольник расположен целиком по одну сторону. Произведем указанную операцию относительно этих двух вершин. Если получен невыпуклый многоугольник, то опять проведем такую же операцию, и так далее. Заметим, что при каждой операции площадь n-угольника увеличивается. Так как может получаться лишь конечное число различных многоугольников, то когда-нибудь мы придем к многоугольнику, для которого выполнение указанной операции невозможно. Этот многоугольник обязан быть выпуклым
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь