Олимпиадная задача про девять прямых и пересечение в одной точке
Задача
Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Решение
Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на две трапеции, основания которых лежат на сторонах квадрата и высоты равны стороне квадрата. Ясно, что прямая делит "среднюю линию" квадрата в отношении 2:3, поскольку отношение площадей этих трапеций равно отношению их средних линий. На каждой из двух средних линий имеется 2 точки, делящие ее в отношении 2:3. В результате мы получаем, что каждая из девяти данных прямых проходит через одну из 4 указанных точек. По принципу Дирихле через одну из этих точек пройдет не менее трех прямых.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь