Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на четыре треугольника и три четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см. Сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см. Периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин жирных отрезков.
Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ). Выбрана точка X на стороне AC . Окружность проходит через точку X , касается стороны AC и пересекает описанную окружность треугольника ABC в таких точках M и N , что прямая MN делит отрезок BX пополам и пересекает стороны AB и BC в точках P и Q . Докажите, что описанная окружность треугольника BPQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC .
Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. Обозначим через L основание биссектрисы угла B, а через K – точку пересечения прямых B1I и A1C1. Докажите, что KL || BB1.
Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка X . Лучи AX , BX и CX пересекают описанную около треугольника ABC окружность в точках A1, B1и C1соответственно. Точка A2симметрична точке A1относительно середины стороны BC . Аналогично определяются точки B2и C2. Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y , не зависящая от выбора X , что точки Y , A2, B2и C2лежат на одной окружности.
Через вершины A и B остроугольного треугольника ABC проведена окружность, пересекающая сторону AC в точке X , а сторону BC — в точке Y . Оказалось, что эта окружность проходит через центр описанной окружности треугольника XCY . Отрезки AY и BX пересекаются в точке P . Известно, что ACB = 2 APX . Найдите угол ACB .
Пусть BL – биссектриса треугольника ABC. Внутри треугольника BLC нашлась такая точка P, что ∠BPC = 90° и ∠LPC + ∠LBC = 180°. Точка O – центр описанной окружности треугольника LPB. Докажите, что прямые CO, BL и AM, где M – середина стороны BC, пересекаются в одной точке.
Окружность, проходящая через вершины A и B треугольника ABC , пересекает стороны AC и BC в точках X и Y соответственно. При этом центр вневписанной окружности треугольника XYC , касающейся стороны XY , лежит на описанной окружности треугольника ABC . Докажите, что отрезок XY проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC .
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает вписанную в этот треугольник окружность в точках F и L . Точка D — основание перпендикуляра из точки C на эту биссектрису, K — основание перпендикуляра из центра вписанной окружности на BD . Докажите, что точки F , L , B и K лежат на одной окружности.
AE и CD – высоты остроугольного треугольника ABC. Биссектриса угла B пересекает отрезок DE в точке F. На отрезках AE и CD взяли такие точки P и Q соответственно, что четырёхугольники ADFQ и CEPF – вписанные. Докажите, что AP = CQ.
Окружность, проходящая через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC , пересекает гипотенузу AC в точке X . Касательные к этой окружности, проведённые в точках X и B , пересекаются в точке Y . Докажите, что точка Y лежит на средней линии треугольника ABC , параллельной стороне BC , или на её продолжении.
Даны непересекающиеся окружности S1и S2и их общие внешние касательные l1и l2. На l1между точками касания отметили точку A , а на l2— точки B и C так, что AB и AC — касательные к S1и S2. Пусть O1и O2— центры окружностей S1и S2, а K — точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC . Докажите, что середина отрезка O1O2равноудалена от точек A и K .
В треугольнике ABC провели биссектрису CK, а в треугольнике BCK – биссектрису KL. Прямые AC и KL пересекаются в точке M. Известно, что ∠A > ∠C. Докажите, что AK + KC > AM.
Дан треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что BF = 2CF, CE = 2AE и ∠DEF = 90°. Докажите, что ∠ADE = ∠EDF.
Дан равносторонний треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки X, Y и Z соответственно так, что BZ = 2AY и ∠XYZ = 90°. Докажите, что AX + CZ = XZ.
В треугольнике ABC с углом B , равным60o , проведена биссектриса CL . Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC . Описанная окружность треугольника ALI пересекает сторону AC в точке D . Докажите, что точки B , L , D и C лежат на одной окружности.
AD – диаметр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Точка E симметрична точке A относительно середины BC. Докажите, что DE ⊥ BC.
В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны. Пусть P – точка пересечения диагналей AD и CF, R – точка пересечения диагоналей BE и CF, Q – точка пересечения диагоналей AD и BE. Известно, что AP = PF, BR = CR и DQ = EQ. Докажите, что точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняются равенства: ∠B = ∠C и CD = 2AB. На стороне BC выбрана такая точка X, что ∠BAX = ∠CDA. Докажите, что AX = AD.
На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC взяли точки K, L и M соответственно так, что ∠A = ∠KLM = ∠C. Докажите, что если AL + LM + MB > CL + LK + KB, то LM < LK.
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D . Произвольный луч l , выходящий из вершины B , пересекает отрезок AC в точке K , а описанную окружность треугольника ABC — в точке L . Докажите, что описанная окружность треугольника DKL проходит через фиксированную точку, отличную от D и не зависящую от выбора луча l .
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на стороне AB взята такая точка E, что AE : BE = AD : BC. Точка H – проекция точки D на прямую CE. Докажите, что AH = AD.
В треугольнике ABC угол A в 2 раза больше угла B, AL – биссектриса треугольника. На луче AL отложен отрезок AK, равный CL. Докажите, что AK = CK.
AL – биссектриса треугольника ABC, причём AL = LB. На луче AL отложен отрезок AK, равный CL. Докажите, что AK = CK.
ABCD – выпуклый четырёхугольник, AB = BC и AD = DC. На диагонали AC нашлась такая точка K, что AK = BK и четырёхугольник KBCD – вписанный. Докажите, что BD = CD.
Точки P и Q – середины оснований AD и BC трапеции ABCD соответственно. Оказалось, что AB = BC, а точка P лежит на биссектрисе угла B. Докажите, что BD = 2PQ.