Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 8 класса - сложность 4 с решениями

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Пусть <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>R</i> — центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>M</i>, <i>N</i>, и <i>K</i> — центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника <i>ABC</i> внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников <i>PQR</i> и <i>MNK</i> равна площади треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.

На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.

Даны окружность, две точки <i>P</i> и <i>Q</i> этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку <i>M</i>, чтобы прямые <i>MP</i> и <i>MQ</i> отсекали на данной прямой отрезок <i>AB</i> данной величины.

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.

<i>ABC</i> — данный разносторонний треугольник, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – точки касания его вписанной окружности со сторонами <i>BC</i>, <i>AC</i>, <i>AB</i> соответственно, <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ — точки, симметричные точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <!-- MATH $A_{2}C_{2} \parallel AC$ --> <i>A&lt...

Через центр <i>O</i> окружности проведено <i>n</i> прямых. С помощью циркуля и линейки Постройте описанный около этой окружности <i>n</i>-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.

На плоскости даны 2<i>n</i> прямых, окружность и точка <i>K</i> внутри неё. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность (2<i>n</i> + 1)-угольник, одна сторона которого проходит через точку <i>K</i>, а остальные стороны параллельны данным прямым.

На плоскости даны 2<i>n</i> - 1 прямая, окружность и точка <i>K</i> внутри окружности. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность 2<i>n</i>-угольник, у которого одна сторона проходит через точку <i>K</i>, а остальные параллельны данным прямым.

В интервале (0;$\pi$) дано <i>n</i> чисел: <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha_{2}$ --> $\alpha_{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$, при этом <!-- MATH $\alpha_{1}+ \alpha_{2}+\ldots+ \alpha_{n}= \pi (n-2)$ --> $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = $\pi$(<i>n</i> - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность <i>n</i>-угольник, внутренние углы которого равны соответственно <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha {2}$ --> $\alpha{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$. Когда построение возможно?

С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность <i>n</i>-угольник, стороны которого соответственно параллельны <i>n</i> данным прямым.

На плоскости дано <i>n</i> прямых (<i>n</i> — нечётно), пересекающихся в одной точке. С помощью циркуля и линейки постройте <i>n</i>-угольник, для которого эти прямые являются биссектрисами внешних или внутренних углов.

Из центра <i>O</i> окружности проведены <i>n</i> прямых (<i>n</i> — нечётно). С помощью циркуля и линейки постройте вписанный в окружность <i>n</i>-угольник, для которого данные прямые являются серединными перепендикулярами к <i>n</i> его сторонам.

На плоскости даны прямые <i>l</i>₁, <i>l</i>₂, ..., <i>l</i>_2n, пересекающиеся в одной точке. Блоха сидит в некоторой точке <i>M</i> плоскости и прыгает через прямую <i>l</i>₁, попадая в точку <i>M</i>₁, причём <i>M</i> и <i>M</i>₁ симметричны относительно прямой <i>l</i>₁, далее — через прямую <i>l</i>₂ и т.д. Докажите, что если через 2<i>n</i> прыжков блоха оказалась в точке М, то, начиная движение из любой точки плоскости, через 2<i>n</i> прыжков блоха окаже...

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.

Даны прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. Постройте путь луча из <i>A</i> в <i>B</i>, который отражается от прямой <i>l</i> по следующему закону: угол падения на $\varphi$ меньше угла отражения.

Дана прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по разные стороны от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой <i>l</i> такую точку <i>X</i>, для которой <!-- MATH $AX - BX = a$ --> <i>AX</i> - <i>BX</i> = <i>a</i>, где <i>a</i> — данная величина.

Дана прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой <i>l</i> точку <i>X</i>, для которой <!-- MATH $AX + BX = a$ --> <i>AX</i> + <i>BX</i> = <i>a</i>, где <i>a</i> — данная величина.

С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного острого угла, вершина — на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри этого угла.

Внутри треугольника <i>ABC</i> с углами <!-- MATH $\angle A = 50^{\circ}$ --> $\angle$<i>A</i> = 50^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle B = 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>B</i> = 60^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle C = 70^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 70^<tt>o</tt> взята точка <i>M</i>, причём <!-- MATH $\angle AMB = 110^{\circ}$ --> $\angle$<i>AMB</i> = 110^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle BMC = 130^{\circ}$ --> $\angle$<i>BMC</i> = 130^<tt>o</tt>. Найдите <!-- MATH $\angle MBC$ --> $\angle$<i>MBC...

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

С помощью циркуля и линейки постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.