Назад

Задание по олимпиадной математике: равнобедренный треугольник в угле

Задача 155644 • Сложность: 4 • 8-9 класс
Нет ответа
Задача

С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного острого угла, вершина — на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри этого угла.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
4
Решение

Предположим, что нужный треугольник XYZ построен. Пусть его основание YZ лежит на одной стороне данного угла с вершиной O, а вершина X — на другой. Пусть боковые стороны XY и XZ этого треугольника проходят через данные внутри угла XOZ точки A и B соответственно. Для определенности будем считать, что точка Y лежит между точками O и Z.

Проведём высоту XH треугольника XYZ. Пусть точка A1 симметрична точке A относительно прямой OX. Если $\angle$XOY = $\alpha$, то

$\displaystyle \angle$A1XB = 2$\displaystyle \angle$OXY + 2$\displaystyle \angle$YXH = 2$\displaystyle \angle$OXH = 2(90o - $\displaystyle \alpha$) = 180o - 2$\displaystyle \alpha$,
т.е. из точкиXотрезокA1Bвиден под углом180o- 2$\alpha$. Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку A1, симметричную данной точке A относительно той стороны данного угла, на которой должна лежать вершина искомого равнобедренного треугольника. На отрезке A1B как на хорде строим дугу окружности, вмещающую угол 180o - 2$\alpha$, где $\alpha$ — величина данного угла. Искомая вершина X равнобедренного треугольника является пересечением этой дуги с рассматриваемой стороной данного угла. При этом проекция точки X на вторую сторону данного угла должна лежать между проекциями точек A и B.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет