Построение остроугольного треугольника по основаниям высот

Задача

С помощью циркуля и линейки постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть B₁ и C₁ — данные основания его высот BB₁ и CC₁, а высота AA₁ лежит на данной прямой l. Тогда треугольник A₁B₁C₁ — ортотреугольник треугольника ABC. Следовательно, лучи A₁A, B₁B и C₁C — биссектрисы углов треугольника A₁B₁C₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку M, симметричную точке C₁ относительно данной прямой l. Пересечение прямой B₁M с прямой l дает основание A₁ третьей высоты искомого треугольника (т.к. прямая l делит угол

C₁A₁B₁ пополам).

Обозначим через H точку пересечения биссектрис треугольника A₁B₁C₁. Через точки B₁ и C₁ проведём прямые, соответственно перпендикулярные биссектрисам углов B₁ и C₁ треугольника A₁B₁C₁. Пусть эти прямые пересекаются в точке A, Обозначим точку пересечения прямых AC₁ и B₁H буквой B, а прямых AB₁ и C₁H — буквой C. Докажем, что ABC — искомый треугольник, т.е., что AA₁, BB₁ и CC₁ — высоты построенного треугольника ABC.

Действительно, пусть

$\displaystyle \angle$AB₁C₁ = $\displaystyle \angle$CB₁A₁ = $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \angle$AC₁B₁ = $\displaystyle \angle$BC₁A₁ = $\displaystyle \beta$.

Поскольку из точекB₁иC₁отрезокAHвиден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметромAH. Тогда

$\displaystyle \angle$AHC₁ = $\displaystyle \angle$AB₁C₁ = $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \angle$AHB₁ = $\displaystyle \angle$AC₁B₁ = $\displaystyle \beta$,

$\displaystyle \angle$B₁A₁C₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$A₁B₁C₁ - $\displaystyle \angle$A₁C₁B₁ = 180^o - (180^o - 2$\displaystyle \alpha$) - (180^o - 2$\displaystyle \beta$) = 2$\displaystyle \alpha$ + 2$\displaystyle \beta$ - 180^o,

$\displaystyle \angle$HA₁B₁ = $\displaystyle \angle$HA₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B₁A₁C₁ = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ - 90^o.

а т.к.CHA₁— внешний угол треугольникаA₁HC₁, то

$\displaystyle \angle$CHA₁ = $\displaystyle \angle$HA₁C₁ + $\displaystyle \angle$HC₁A₁ = ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ - 90^o) + (90^o - $\displaystyle \beta$) = $\displaystyle \alpha$.

Аналогично находим, что$\angle$BHA₁=$\beta$. Поскольку$\angle$AHC₁=$\angle$CHA₁, то точкиA,HиA₁лежат на одной прямой. Кроме того, из равенства $\angle$CHA₁ = $\angle$CB₁A₁ следует, что точки A₁, H, B₁ и C лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$HA₁C = $\displaystyle \angle$HB₁C = 90^o.

Аналогично докажем, что$\angle$HA₁B= 90^o. Следовательно, точкиB,A₁иCлежат на одной прямой иAA₁— высота треугольникаABC. Осталось заметить, что по построениюBB₁иCC₁— также высоты треугольникаABC.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Математическая задача: построение треугольника по основаниям высот

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления