Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями

Треугольник <i>BHC</i>, где <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>, достроен до параллелограмма <i>BHCD</i>. Докажите, что ∠<i>BAD</i> = ∠<i>CAH</i>.

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.

Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 3 : 2.  Отрезки <i>AM</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKD</i>.

На стороне <i>BC</i> и на продолжении стороны <i>AB</i> за вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5  и  <i>BK</i> : <i>AB</i> = 1 : 5.  Прямая <i>KM</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Найдите отношение  <i>CN</i> : <i>AN</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём  <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2,  <i>AM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5.  Прямые <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OM</i> : <i>OB</i>  и  <i>ON </i>: <i>OC</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 5,  <i>BN</i> : <i>NC</i> = 1 : 4.  Прямые <i>CM</i> и <i>AN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>OA</i> : <i>ON</i>  и  <i>OM</i> : <i>OC</i>.

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM</i> : <i>MD</i> = 2 : 7,  <i>CN</i> : <i>ND</i> = 3 : 5.  Прямые <i>CM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения  <i>ON</i> : <i>OB</i>  и  <i>OC</i> : <i>OM</i>.

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB < BC</i>)  проведены высоты <i>AM</i> и <i>CN</i>. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Известно, что ∠<i>ABC</i> = β,  а площадь четырёхугольника <i>NOMB</i> равна <i>S</i>. Найдите сторону <i>AC</i>.

Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность. Диаметр <i>AD</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>E</i>, при этом  <i>AC = EC</i>  и  <i>AE</i> : <i>DE = m</i>.

Найдите отношение  <i>BE</i> : <i>CE</i>.

В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).

В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).

Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали – большему. Найдите углы трапеции.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что окружность, проходящая через точки <i>A, B</i> и <i>D</i>, касается прямой <i>BC</i>.

Найдите <i>AD</i>, если  <i>AB</i> = 18,  <i>AC</i> = 36  и  <i>BD</i> = 15.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что окружность, проходящая через точки <i>A, C</i> и <i>D</i>, касается прямой <i>BC</i>.

Найдите <i>AD</i>, если  <i>AC</i> = 9,  <i>BC</i> = 12  и  <i>CD</i> = 6.

Стороны<i> AB </i>и<i> AC </i>треугольника равны соответственно<i> a </i>и<i> b </i>. На медиане, проведённой к стороне<i> BC </i>взята точка<i> M </i>. Сумма расстояний от этой точки до прямых<i> AB </i>и<i> AC </i>равна<i> c </i>. Найдите эти расстояния.

На продолжениях сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CD </i>и<i> DA </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>за точки<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>и<i> A </i>соответственно отложены отрезки<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1и<i> AA</i>1, равные этим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1, если площадь четырёхугольника<i> ABCD </i>равна<i> s </i>.

Точки<i> A' </i>и<i> B' </i>— образы точек<i> A </i>и<i> B </i>при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> A' </i>и<i> B' </i>лежат на одной окружности.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом при вершине <i>C</i> высота <i>CH</i> и биссектриса <i>AK</i> пересекаются в точке <i>M</i>.

Докажите, что треугольник <i>CMK</i> – равнобедренный.

На сторонах<i> AB </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>, площадь которого равна 50, взяты соответственно точки<i> M </i>и<i> K </i>так, что<i> AM:MB = </i>1<i>:</i>5, а<i> AK:KC = </i>3<i>:</i>2. Найдите площадь треугольника<i> AMK </i>.

Докажите что из двух неравных хорд окружности большая удалена от центра на меньшее расстояние. Верно ли обратное?

Через каждую точку<i> A </i>, лежащую на данной окружности, проводится касательная и на ней откладывается отрезок<i> AM </i>, равный данному. Найдите геометрическое место точек<i> M </i>.

Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>CD</i> и <i>DE</i> правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i>. Найдите угол между прямыми <i>AM</i> и <i>BN</i>.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> – правильный, <i>K</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>BD</i> и <i>EF</i>. Докажите, что треугольник <i>AMK</i> – правильный.

Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>CD</i> и <i>DE</i> правильного шестиугольника <i>ABCDEF, P</i> – точка пересечения отрезков <i>AM</i> и <i>BN</i>. Докажите, что  <i>S_ABP = S_MDNP</i>.