Олимпиадная задача по планиметрии: радиус описанной окружности в треугольнике

ПустьH– точка пересечения высотAA₁,BB₁,CC₁треугольникаABC, ∠A₁C₁B₁= 90°,A₁B₁= 10;A₂,B₂,C₂– точки пересечения продолжений высот соответственноAA₁,BB₁,CC₁с окружностью, описанной около треугольникаABC. ТогдаA₁,B₁,C₁– середины отрезковHA₂,HB₂,HC₂. Значит,A₁B₁,B₁C₁,A₁C₁– средние линии треугольниковA₂HB₂,B₂HC₂,A₂HC₂, поэтому стороны треугольникаA₂B₂C₂соответственно параллельны сторонами треугольникаA₁B₁C₁, причёмA₂B₂= 2A₁B₁,A₂C₂= 2A₁C₁,B₂C₂= 2B₁C₁. Следовательно, треугольникA₂B₂C₂также прямоугольный и его гипотенузаA₂B₂вдвое большеA₁B₁, т.е равна 20. Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольникаA₂B₂C₂(а значит, и около треугольникаABC), равен 10.