Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы вписанных и вневписанных окружностей треугольника 8-9 класс

Первый способ.Пусть окружность с центром O и радиусом r вписана в прямоугольный треугольник ABC, в котором BC = a, AC = b – катеты, а AB = c – гипотенуза. Если окружность касается отрезков BC, AC и AB соответственно в точках K, L и M, то OKCL – квадрат со стороной r, поэтому BM = BK = BC – CK = a – r, AM =AL =AC – CL = b – r, а т.к. AM + BM = AB, то a – r + b – r = c. Отсюда находим, что

Пусть окружность с центромO_aи радиусомr_aкасается катетаBCв точкеP, а продолжений катетаACи гипотенузыABв точкахQиTсоответственно. ТогдаO_aPCQ– квадрат со сторонойr_a, поэтомугдеp– полупериметр треугольника.Аналогично находим радиусы остальных окружностей. Второй способ. Пусть a, b и c – стороны произвольного треугольника, S – его площадь, p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности, r_a, r_b и r_c – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b и c соответственно. Тогда В нашем случае

2, 15, 3, 10. Также доступны документы в формате TeX