Задача № 130926
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств 1) a + b < c + d; 2) (a + b)cd < ab(c + d); 3) (a + b)(c + d) < ab + cd неверно.
Олимпиадные задачи по математике — страница 910
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 130925
x, y > 0. Через S обозначим наименьшее из чисел x, 1/y, y + 1/x. Какое максимальное значение может принимать величина S?
Задача № 130923
Докажите, что для любого x выполнено неравенство x4 – x³ + 3x² – 2x + 2 ≥ 0.
Задача № 130922
Докажите, что
Задача № 130921
x, y, z положительные числа. Докажите неравенство
Задача № 130920
a, b, c – натуральные числа и  1/a + 1/b + 1/c < 1. Докажите, что  1/a + 1/b + 1/c ≤ 41/42.
Задача № 130919
x, y – числа из отрезка [0, 1]. Докажите неравенство
Задача № 130918
a, b, c > 0 и abc = 1. Известно, что a + b + c > 1/a + 1/b + 1/c. Докажите, что ровно одно из чисел a, b, c больше 1.
Задача № 130917
Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,01?
Задача № 130916
a, b, c, d ≥ 0, причём c + d ≤ a, c + d ≤ b. Докажите, что ad + bc ≤ ab.
Задача № 130915
1 > x > y > 0. Докажите, что
Задача № 130914
n – натуральное число. Докажите, что
Задача № 130913
Докажите, что 100! < 50100.
Задача № 130911
Поместится ли все население Земли, все здания и сооружения на ней в куб с длиной ребра 3 километра?
Задача № 130910
Представьте себе, что Землю "раскатали в колбаску" так, чтобы она достала до Солнца. Какой толщины будет эта "колбаска"? Постарайтесь ошибиться не более чем в 10 раз.
Задача № 130909
Вокруг экватора натянули верёвку. Затем её удлинили на 1 см и опять натянули, приподняв в одном месте. Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?
Задача № 130908
Сумма положительных чисел x1, x2, ..., xn равна ½. Докажите, что
Задача № 130906
Произведение положительных чисел a1, a2, ..., an равно 1. Докажите, что (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2n.
Задача № 130905
Какое из чисел (10 двоек) или (9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?
Задача № 130904
Докажите, что для любого натурального n выполняется неравенство 3n > n·2n.
Задача № 130903
При каких натуральных n выполняется неравенство 2n ≥ n³?
Задача № 130902
n – натуральное число. Докажите, что 2n ≥ 2n.
Задача № 130901
n – натуральное число, n ≥ 4. Докажите, что n! ≥ 2n.
Задача № 130900
n – натуральное число. Докажите, что nn > (n + 1)n–1.
Задача № 130899
x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.
0–0 из 23247