Докажите, что ровно одно из чисел a, b, c больше 1 — задача по олимпиа
a, b, c > 0 и abc = 1. Известно, что a + b + c > 1/a + 1/b + 1/c. Докажите, что ровно одно из чисел a, b, c больше 1.
Разобрать решение
Заметим, что 1/a + 1/b + 1/c = bc + ac + ab. Поэтому (1 – a)(1 – b)(1 – c) = 1 – (a + b + c) + (ab + bc + ac) – 1 < 0.
Значит, в левой части нечётное число отрицательных множителей. Все три отрицательны быть не могут (иначе abc > 1), следовательно, отрицателен ровно один, что и требовалось.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.