Олимпиадная задача: Найдите k для многочлена с условиями P(1)=2013 и P(2013)=1
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что Р(1) = 2013, Р(2013) = 1, P(k) = k, где k – некоторое целое число. Найдите k.
Показать ответ
Разобрать решение
По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 135562) k – 2013 = P(k) – P(1) делится на k – 1, а k – 1 = P(k) – P(2013) делится на k – 2013. Следовательно, |k – 2013| = |k – 1|. Решением полученного уравнения является середина отрезка [1, 2013], то есть
k = ½ (1 + 2013) = 1007.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.