Олимпиадная задача на максимум выражения с многочленами для 9-11 классов

  Первый способ.  

  Кроме того,  ab + bc + ac ≤ a ² + b² + c² = (a + b + c)² – 2(ab + bc + ac),  то есть  3(ab + bc + ac) ≤ (a + b + c)² = 144.

  В обоих случаях равенство достигается, если  a = b = c = 4.  Следовательно, наибольшее значение данного выражения равно  64 + 144 : 3 = 112.   Второй способ. Пусть  X = ab + bc + ac + abc. Тогда

  Таким образом,  X ≤ 112.   Равенство достигается при  a = b = c= 4.