Олимпиадная задача: доказать (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx при x ≥ –1

Решение 1:Докажем неравенство индукцией по n. База. При  n = 1  неравенство превращается в равенство.Шаг индукции. Пусть уже доказано, что   (1 +x)ⁿ≥ 1 +nx.   Тогда   (1 +x)ⁿ⁺¹≥ (1 +nx)(1 +x) = 1 +nx+x+nx² ≥ 1 + (n+ 1)x.

Решение 2:Пусть  a > 1.  Рассмотрим функцию  f(x) = (1 + x)^a – ax – 1,  определенную при x > –1.  Ее производная  f'(x) = a(1 + x)^a–1 – a = a((1 + x)^a–1 – 1)  положительна при  x > 0  и отрицательна при  –1 < x < 0.  Следовательно,  f(x) ≥ f(0) = 0  на всей области определения.