Задание олимпиады о неравенствах с положительными a, b, c, d
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
1) a + b < c + d;
2) (a + b)cd < ab(c + d);
3) (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.
Разобрать решение
Можно считать, что a ≤ b и c ≤ d. Первое неравенство означает, что среднее арифметическое чисел a и b меньше среднего арифметического чисел c и d; отсюда, в частности, следует, что a < d. Второе неравенство означает, что среднее гармоническое чисел a и b больше среднего гармонического чисел c и d; отсюда, в частности, следует, что c < b.
Третье неравенство можно записать в виде (a – d)(b – c) > bc + ad > 0, откуда следует, что числа d – a и b – c – разных знаков. Но это противоречит ранее полученным неравенствам.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.