Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Окружности с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2имеют общую хорду<i> AB </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116102/problem_116102_img_2.gif"> AO</i>1<i>B = </i>120<i><sup>o </sup> </i>. Отношение длины второй окружности к длине первой равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116102/problem_116102_img_3.gif"> </i>. Найдите угол<i> AO</i>2<i>B </i>.
Пусть<i> r </i>— радиус вписанной окружности, а<i> r<sub>a</sub> </i>,<i> r<sub>b</sub> </i>и<i> r<sub>c</sub> </i>— радиусы вневписанных окружностей треугольника<i> ABC </i>, касающихся сторон<i> BC=a </i>,<i> AC=b </i>,<i> AB=c </i>соответственно;<i> p </i>— полупериметр треугольника<i> ABC </i>,<i> S </i>— его площадь. Докажите, что а)<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116101/problem_116101_img_2.gif"> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116101/problem_116101_img_3.gif"> + <img align="absmiddle"...
Окружность радиуса 3 проходит через вершину<i> B </i>, середины сторон<i> AB </i>и<i> BC </i>, а также касается стороны<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>. Угол<i> BAC </i>— острый, и<i> sin <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116100/problem_116100_img_2.gif"> BAC = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116100/problem_116100_img_3.gif"> </i>. Найдите площадь треугольника<i> ABC </i>.
На окружности, описанной около прямоугольника<i> ABCD </i>, выбрана точка<i> K </i>. Оказалось, что прямая<i> CK </i>пересекает отрезок<i> AD </i>в точке<i> M </i>такой, что<i> AM:MD=</i>2. Пусть<i> O </i>— центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника<i> OKD </i>лежит на окружности, описанной около треугольника<i> COD </i>.
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки <i>B</i> и <i>C</i>, пересекают касательную к ω, проведённую через точку <i>A</i>, в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Прямая, проведённая через <i>K</i> параллельно <i>AB</i>, пересекается с прямой, проведённой через <i>L</i> параллельно <i>AC</i>, в точке <i>P</i>. Докажите, что <i>BP = CP</i>.
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов.
Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.
Точки <i>X'</i> и <i>Y'</i> – образы точек <i>X</i> и <i>Y</i> при инверсии относительно окружности с центром <i>O</i> радиуса <i>R</i>, причём точки <i>X</i> и <i>Y</i> отличны от <i>O</i>.
Докажите, что <i>X'Y' = XY</i>·<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116094/problem_116094_img_2.gif"> .
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.
С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.
Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше360<i><sup>o</sup> </i>.
Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.
Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.
В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.
В тетраэдре<i> ABCD </i>ребро<i> AB </i>перпендикулярно ребру<i> CD </i>,<i> P </i>— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки<i> O </i>до середин рёбер<i> AC </i>и<i> BD </i>равна сумме квадратов расстояний от точки<i> P </i>до середин рёбер<i> AD </i>и<i> BC </i>.
Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?
Дан трёхгранный угол с вершиной<i> O </i>и точка<i> A </i>на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки<i> B </i>и<i> C </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников<i> ABC </i>.
В основании пирамиды объёма<i> V </i>лежит трапеция с основаниями<i> m </i>и<i> n </i>. Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма<i> U </i>, а в сечении получается снова трапеция с основаниями<i> m</i>1и<i> n</i>1. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_2.gif">=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_3.gif"> </i>.
Докажите, что две непересекающиеся окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке<i> M </i>, отличной от точки<i> O </i>, то их образы при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>также касаются, а при инверсии с центром<i> M </i>окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.