Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Четырёхугольник<i> ABCD </i>— вписанный. Докажите, что <center><i>

<img src="/storage/problem-media/111676/problem_111676_img_2.gif"> = <img src="/storage/problem-media/111676/problem_111676_img_3.gif">.

</i></center>

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, причём $S^2_{\Delta ABP} + S^2_{\Delta CDP} = S^2_{\Delta BCP} + S^2_{\Delta ADP}$. Докажите, что $P$ — середина одной из диагоналей.

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел предвтавляет собой точный квадрат.

Диагонали выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> P </i>. Известны площади треугольников<i> ABP </i>,<i> BCP </i>,<i> CDP </i>. Найдите площадь треугольника<i> ADP </i>.

Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к двум противоположным сторонам четырёхугольника, равновелики тогда и только тогда, когда две другие стороны четырёхугольника параллельны.

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

На неравных сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены равнобедренные треугольники <i>AC</i>₁<i>B</i> и <i>AB</i>₁<i>C</i> с углом φ при вершине, <i>O</i> – точка серединного перпендикуляра к отрезку <i>BC</i>, равноудалённая от точек <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>OC</i>₁ = 180° – φ.

На неравных сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены равнобедренные треугольники <i>AC</i>₁<i>B</i> и <i>AB</i>₁<i>C</i> с углом φ при вершине, <i>M</i> – точка медианы <i>AA</i>₁ (или её продолжения), равноудалённая от точек <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁ = φ.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены правильные треугольники.

Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены прямоугольные треугольники <i>ABC</i>₁ и <i>AB</i>₁<i>C</i>, причём  ∠<i>C</i>₁ = ∠<i>B</i>₁ = 90°,

∠<i>ABC</i>₁ = ∠<i>ACB</i>₁ = φ;  <i>M</i> – середина <i>BC</i>. Докажите, что <i>MB</i>₁ = <i>MC</i>₁  и  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁ = 2φ.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> как на основаниях построены равнобедренные подобные треугольники <i>AB</i>₁<i>C</i> и <i>AC</i>₁<i>B</i> внешним образом и <i>BA</i>₁<i>C</i> внутренним образом. Докажите, что <i>AB</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i>₁ – параллелограмм.

На сторонах произвольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены равнобедренные треугольники <i>AC</i>₁<i>B, BA</i>₁<i>C, CB</i>₁<i>A</i> с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ равны α, β и γ.

В прямоугольник<i> ABCD </i>вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину<i> K </i>на стороне<i> AB </i>. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника<i> ABCD </i>

Шестиугольник<i> ABCDEF </i>вписан в окружность. Диагонали<i> AD </i>,<i> BE </i>и<i> CF </i>являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника<i> ABCDEF </i>равна удвоенной площади треугольника<i> ACE </i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на сторонах <i>BC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, причём  <i>CM</i> : <i>MB</i> = 1 : 5  и  <i>BN</i> : <i>AN</i> = 1 : 3.  Прямая <i>MN</i> пересекает продолжение стороны <i>AC</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение  <i>CK</i> : <i>AC</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>K</i> и <i>L</i>, причём  <i>AK</i> : <i>KB</i> = 4 : 7  и  <i>AL</i> : <i>LC</i> = 3 : 2.  Прямая <i>KL</i> пересекает продолжение стороны <i>BC</i> в точке <i>M</i>. Найдите отношение  <i>CM</i> : <i>BC</i>.

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> AB=c </i>,<i> BC=a </i>,<i> AC=b </i>;<i> O </i>— центр окружности, касающейся стороны<i> AB </i>и продолжений сторон<i> AC </i>и<i> BC </i>,<i> D </i>— точка пересечения луча<i> CO </i>со стороной<i> AB </i>. Найдите отношение<i> <img src="/storage/problem-media/111660/problem_111660_img_2.gif"> </i>

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> AB=c </i>,<i> BC=a </i>,<i> AC=b </i>. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису<i> CD </i>?

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, а на стороне <i>CD</i> – точки <i>C</i>₁ и <i>D</i>₁, причём  <i>AA</i>₁ = <i>BB</i>₁ = <i>pAB</i>  и  <i>CC</i>₁ = <i>DD</i>₁ = <i>pCD</i>,  где

<i>p</i> < ½.  Докажите, что  <i>S</i><sub><i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i&gt...

На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM</i> : <i>MB = CN</i> : <i>ND</i>.  Отрезки <i>AN</i> и <i>DM</i> пересекаются в точке <i>K</i>, а отрезки <i>BN</i> и <i>CM</i> – в точке <i>L</i>. Докажите, что  <i>S_KMLN = S_ADK + S_BCL</i>.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.

Четырёхугольник<i> ABCD </i>вписан в окружность радиуса<i> R </i>;<i> ϕ </i>– угол между его диагоналями. Докажите, что площадь<i> S </i>четырёхугольника<i> ABCD </i>равна2<i>R</i>2<i> sin A sin B sin ϕ </i>.

Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.