Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: площади треугольников в выпуклом четырёхугольнике

Докажем сначала следующее утверждение: если S1, S2, S3и S4— площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S1· S3=S2· S4.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P . Обозначим

S_{Δ ABP}=S1, S_{Δ BCP}=S2, S_{Δ CPD}=S3, S_{Δ ADP}=S4.

У треугольников ABP и BCP общая высота, проведённая из вершины B , поэтому = . Аналогично, = . Поэтому = , или = . Следовательно, S1· S3=S2· S4. Утверждение доказано.

Перейдём к нашей задаче. Так как S1· S3=S2· S4, то

S1S2S3S4= S1S3· S2S4= S1S3· S1S3= (S1S3)2,

причём S1S3— целое число.

Ответ задачи отсутствует