Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: площади треугольников в выпуклом четырёхугольнике
Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел предвтавляет собой точный квадрат.
Разобрать решение
Докажем сначала следующее утверждение: если S1, S2, S3и S4— площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S1· S3=S2· S4.
Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P . Обозначим
SΔ ABP=S1, SΔ BCP=S2, SΔ CPD=S3, SΔ ADP=S4.
У треугольников ABP и BCP общая высота, проведённая из
вершины B , поэтому 
=
.
Аналогично, 
= .
Поэтому =
, или 
=
.
Следовательно, S1· S3=S2· S4.
Утверждение доказано.
Перейдём к нашей задаче. Так как S1· S3=S2· S4, то
S1S2S3S4= S1S3· S2S4= S1S3· S1S3= (S1S3)2,
причём S1S3— целое число.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.