Олимпиадная задача по планиметрии: равнобедренные треугольники на сторонах треугольника

  Сумма углов шестиугольника AC₁BA₁CB₁ равна 720°, а так как  ∠BA₁C + ∠AB₁C + ∠AC₁B = 2α + 2β + 2γ = 360°,  то

∠ B₁AC₁ + ∠A₁BC₁ + ∠A₁BC₁ = 720° – 360° = 360°.

  Пусть при повороте вокруг точки C₁, переводящем точку B в точку A, точка A₁ перешла в некоторую точку P (см. рис.). Тогда треугольник PAC₁ равен треугольнику A₁BC₁, а так как  AP = BA₁ = CA₁,  AB₁ = CB₁  и

∠PAB₁ = 360° – ∠PAC₁ – B₁AC₁ = 360° – ∠A₁BC₁ – B₁AC₁ = 360° – (360° – ∠A₁CB₁) = ∠ A₁CB₁,  то треугольники PAB₁ и A₁CB₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  PB₁ = A₁B₁,  а треугольники PB₁C₁ и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам. Значит,  ∠PB₁A = ∠CB₁A₁,

∠PB₁A₁ = ∠PB₁A + ∠AB₁A₁ = ∠CB₁A₁ + ∠AB₁A₁ = ∠AB₁C = 2β.

  Следовательно,  ∠A₁B₁C₁ = ½ ∠PB₁A₁ = ½ ∠AB₁C = β.

  Аналогично  ∠B₁A₁C₁ = α,  ∠A₁C₁B₁ = γ.

Ответ задачи отсутствует