Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: угол между B₁O и OC₁
Задача
На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с углом φ при вершине, O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудалённая от точек B1 и C1. Докажите, что ∠B1OC1 = 180° – φ.
Решение
Построим на стороне BC (см. рис.) внешним образом равнобедренный треугольник BA1C с углом 360° – 2φ при вершине A1 (если φ < 90°, строим внутренним образом треугольник с углом 2φ). Тогда сумма трёх углов при вершинах трёх равнобедренных треугольников AC1B, AB1C и BA1C равна 360°. Согласно задаче 211665 углы треугольника A1B1C1 вдвое меньше соответствующих углов при вершинах этих равнобедренных треугольников, то есть ∠B1A1C1 = 180° – φ, ∠A1C1B1 = ∠A1B1C1 = φ/2, а так как A1C = A1B, то точка A1 равноудалена от точек B1 и C1, значит, она совпадает с данной в условии точкой O. Следовательно, ∠B1OC1 = 180° – φ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь