Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: равнобедренные треугольники на сторонах треугольника
Задача
На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с углом φ при вершине, M – точка медианы AA1 (или её продолжения), равноудалённая от точек B1 и C1. Докажите, что ∠B1MC1 = φ.
Решение
Пусть прямая, проходящая через точку B1 перпендикулярно AB1, пересекает прямую AC в точке L, а прямая, проходящая через точку C1 перпендикулярно AC1, пересекает прямую AB в точке K. Тогда AL : AK = AB1 : AC1 = AC : AB, значит, KL || BC, поэтому точка N пересечения медианы AA1 с отрезком KL – середина KL. Согласно задаче 211667 точка N равноудалена от точек B1 и C1, а значит, совпадает с точкой M . По той же задаче
∠B1MC1 = 2∠ALB1 = 2(90° – ∠B1AC) = 180° – 2∠B1AC = φ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь