Олимпиадная задача по планиметрии: равновеликость выпуклых четырёхугольников, 8-9 класс
Задача
Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.
Решение
Докажем сначала, что площадь четырёхугольника с вершинах в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника.
Пусть S – площадь данного четырёхугольника ABCD , s – площадь четырёхугольника, вершины которого – середины K , L , M и N сторон AB , BC , CD и AD соответственно.
Поскольку KL и MN – средние линии треугольников ABC и ADC , то
SΔ KBL = 
SΔ ABC,
SΔ MDN = SΔ ADC.
SΔ KBL + SΔ MDN =
SΔ ABC+SΔ ADC=
(SΔ ABC+SΔ ADC) =
S.
SΔ KAN + SΔ MCL = S.
s=S - SΔ KBL - SΔ MDN -SΔ KAN - SΔ MCL
=S- S - S = 
S.
Рассмотрим теперь выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон. По доказанному выше, площадь каждого из них вдвое больше площади четырёхугольника (параллелограмма) с вершинами в общих серединах сторон, следовательно, все эти четырёхугольники равновелики.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь