Олимпиадная задача по планиметрии: равновеликость выпуклых четырёхугольников, 8-9 класс

Докажем сначала, что площадь четырёхугольника с вершинах в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника.

Пусть S – площадь данного четырёхугольника ABCD , s – площадь четырёхугольника, вершины которого – середины K , L , M и N сторон AB , BC , CD и AD соответственно.

Поскольку KL и MN – средние линии треугольников ABC и ADC , то

S_{Δ KBL} = S_{Δ ABC}, S_{Δ MDN} = S_{Δ ADC}.

Поэтому

S_{Δ KBL} + S_{Δ MDN} = S_{Δ ABC}+S_{Δ ADC}= (S_{Δ ABC}+S_{Δ ADC}) = S.

Аналогично

S_{Δ KAN} + S_{Δ MCL} = S.

Следовательно,

s=S - S_{Δ KBL} - S_{Δ MDN} -S_{Δ KAN} - S_{Δ MCL} =S- S - S = S.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон. По доказанному выше, площадь каждого из них вдвое больше площади четырёхугольника (параллелограмма) с вершинами в общих серединах сторон, следовательно, все эти четырёхугольники равновелики.