Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: проекции высоты треугольника

  Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC, K и N – проекции точки B₁ на AB и BC, L и M – проекции точки B₁ на AA₁ и CC₁ соответственно. Прямые B₁K и CC₁ параллельны, поэтому треугольник AB₁K подобен треугольнику ACC₁. Аналогично треугольник AB₁L подобен треугольнику ACA₁. Значит,   KB₁ : CC₁ = AB₁ : AC = LB₁ : A₁C,  а так как  KB₁ || CC₁,  то треугольник KLB₁ подобен треугольнику C₁A₁C. Поэтому  KL || A₁C₁.

  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC. Треугольник BC₁H подобен треугольнику BKB₁, а треугольник BNB₁ – треугольнику BA₁H, поэтому

BC₁ : BK = BH₁ : BB₁ = BA₁ : BN,  значит,  KN || A₁C₁,  а так как  KL || A₁C₁, то точки K, L и N лежат на одной прямой. Аналогично точка M лежит на этой же прямой.

Ответ задачи отсутствует