Олимпиадная задача по планиметрии: Сумма площадей вписанных прямоугольников (8-9 класс)
Задача
В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB . Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD
Решение
Известно, что если один параллелограмм вписан в другой, то центры этих параллелограммов совпадают. Следовательно, центры прямоугольников, о которых говорится в условии задачи, совпадают с центром O прямоугольника ABCD . Тогда вписанные прямоугольники имеют общую диагональ KL .
Пусть M и N — вершины соответственно первого и второго прямоугольников, лежащие на стороне BC прямоугольника ABCD . Отрезок KL виден из точек M и N под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KL . Перпендикуляр, опущенный из центра O этой окружности делит пополам и хорду MN , и сторону BC , поэтому BM=CN .
Пусть площадь прямоугольника ABCD равна2s . Тогда площадь трапеции KBCL равна s , т.е.
s=
(BK+CL)BC= (BK+AK)BC=
AB· BC.
SΔ KML = s-SΔ KBM-SΔ CML, SΔ KNL =s-SΔ KBN-SΔ LCN,
SΔ KML+SΔ KNL = 2s-(SΔ KBM+SΔ LCM)- (SΔ KBN+SΔ LCN)=
=2s-(SΔ KBM+SΔ KBN)- (SΔ LCM+SΔ LCN)=
=2s-(KB· BM+KB· BN)-
(LC· CM+LC· CN)=
=2s-KB(BM+BN)-LC(CM+CN)=
=2s-KB(CN+BN)-LC(CM+BM)=
2s-KB· BC-LC· BC=
=2s-BC(KB+CL)=2s-BC· AB=
2s-s=s,
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь