Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 4-5 с решениями

Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины пересекаются в одной точке.

В выпуклом четырёхугольнике <i>KLMN</i> отрезок <i>MS</i>, соединяющий вершину <i>M</i> с точкой <i>S</i>, расположенной на стороне <i>KN</i>, пересекает диагональ <i>LN</i> в точке <i>O</i>. Известно, что <!-- MATH $KL:KM = 7:9$ --> <i>KL</i> : <i>KM</i> = 7 : 9, <!-- MATH $SO:ON = 2:3$ --> <i>SO</i> : <i>ON</i> = 2 : 3 и <!-- MATH $\angle KLN + \angle KMN = 180^{\circ}$ --> $\angle$<i>KLN</i> + $\angle$<i>KMN</i> = 180^<tt>o</tt>. Найдите отношение стороны <i>MN</i> к отрезку <i>MS</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> отрезок <i>CM</i>, соединяющий вершину <i>C</i> с точкой <i>M</i>, расположенной на стороне <i>AD</i>, пересекает диагональ <i>BD</i> в точке <i>K</i>. Известно, что <!-- MATH $CK:KM = 2:1$ --> <i>CK</i> : <i>KM</i> = 2 : 1, <!-- MATH $CD:DK = 5:3$ --> <i>CD</i> : <i>DK</i> = 5 : 3 и <!-- MATH $\angle ABD + \angle ACD = 180^{\circ}$ --> $\angle$<i>ABD</i> + $\angle$<i>ACD</i> = 180^<tt>o</tt>. Найдите отношение стороны <i>AB</i> к диагонали <i>AC</i>.

Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как <i>m</i> : <i>n</i>.

В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2$\sqrt{2}$, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.

Пусть <i>R</i> — радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, <i>r</i>_a — радиус вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен <!-- MATH $R^{2} + 2Rr_{a}$ --> <i>R</i>² + 2<i>Rr</i>_a.

На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ так, что прямые <!-- MATH $AA_{1}, BB_{1}$ --> <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если:

а) два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;

б) два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.

В полукруг помещены две окружности диаметром <i>d</i> и <i>D</i> (<i>d</i> < <i>D</i>) так, что каждая окружность касается дуги и диаметра полукруга, а также другой окружности. Через центры окружностей проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке <i>M</i>. Из точки <i>M</i> проведена касательная к дуге полукруга (<i>N</i> — точка касания). Найдите <i>MN</i>.

Пусть <i>A</i> – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую <i>l</i>. На этой прямой взяты еще две точки <i>B</i> и <i>C</i> так, что

<i>AB = AC</i>.  Через точки <i>B</i> и <i>C</i> проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, вторая – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть прямые <i>PM</i> и <i>QN</i> пересекают прямую <i>l</i> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что  <i>AR = AS</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> через середину <i>M</i> стороны <i>BC</i> и центр <i>O</i> вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая <i>MO</i>, которая пересекает высоту <i>AH</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что отрезок <i>AE</i> равен радиусу вписанной окружности.

Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>K</i>, причём угол <i>AKC</i> равен разности углов <i>A</i> и <i>C</i> треугольника. Разность сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> равна <!-- MATH $\frac{8}{\sqrt{3}}$ --> ${\frac{8}{\sqrt{3}}}$, а расстояние от точки <i>O</i> до стороны <i>AB</i> на 2 больше расстояния от точки <i>O</i> до стороны <i>AC</i>. Найдите радиус окружности.

Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>B</i> пересекается с прямой <i>AC</i> в точке <i>K</i>, причём угол <i>AKB</i> равен разности учетверённого угла <i>A</i> и угла <i>B</i> треугольника. Сторона <i>AB</i> в два раза длиннее стороны <i>AC</i>, а расстояние от точки <i>O</i> до стороны <i>AC</i> на 1 больше расстояния от точки <i>O</i> до стороны <i>AB</i>. Найдите радиус окружности.

Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>C</i> пересекается с прямой, делящей пополам угол <i>B</i> треугольника, в точке <i>K</i>, причём угол <i>BKC</i> равен половине угла <i>C</i> треугольника. Сторона <i>AB</i> на $\sqrt{3}$ длиннее стороны <i>AC</i>, а расстояние от точки <i>O</i> до стороны <i>AC</i> на 1 больше расстояния от точки <i>O</i> до стороны <i>AB</i>. Найдите радиус окружности.

Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>C</i> пересекается с прямой, делящей пополам угол <i>B</i> треугольника, в точке <i>K</i>, причём угол <i>BKC</i> равен половине разности утроенного угла <i>A</i> и угла <i>C</i> треугольника. Сумма сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> равна <!-- MATH $2 + \sqrt{3}$ --> 2 + $\sqrt{3}$, а сумма расстояний от точки <i>O</i> до сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> равна 2. Найдите радиус окружности.

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно <i>m</i>. Найдите углы треугольника.

В треугольнике <i>PQR</i> точка <i>A</i> — центр вписанной окружности, а точка <i>B</i> — центр окружности, описанной около треугольника <i>PQR</i>. Прямая <i>AB</i> перпендикулярна биссектрисе <i>QA</i> треугольника <i>PQR</i>. Известно, что угол <i>ABQ</i> равен $\beta$. Найдите углы треугольника <i>PQR</i>.

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу вписанной окружности равно <i>k</i>. Найдите углы треугольника.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>P</i> — центр вписанной окружности, а точка <i>Q</i> — центр окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>PQ</i> перпендикулярна биссектрисе <i>AP</i> треугольника <i>ABC</i>. Известно, что величина угла <i>PAQ</i> равна $\alpha$. Найдите углы треугольника.

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно <i>h</i>. Найдите углы треугольника.

На дуге окружности, стягиваемой хордой <i>KN</i>, взяты точки <i>L</i> и <i>M</i>. Биссектрисы углов <i>KLM</i> и <i>LMN</i> пересекаются в точке <i>P</i>, лежащей на хорде <i>KN</i>. Известно, что отношение длины хорды <i>KL</i> к длине хорды <i>KN</i> равно <!-- MATH $\frac{2}{5}$ --> ${\frac{2}{5}}$. Найдите:

а) отношение расстояний от точки <i>P</i> до прямых <i>KL</i> и <i>MN</i>;

б) отношение площадей треугольников <i>KLP</i> и <i>MPN</i>.

В четырёхугольнике <i>KLMN</i>, вписанном в окружность, биссектрисы углов <i>K</i> и <i>N</i> пересекаются в точке <i>P</i>, лежащей на стороне <i>LM</i>. Известно, что отношение длины отрезка <i>KL</i> к длине отрезка <i>MN</i> равно <i>b</i>. Найдите:

а) отношение расстояний от точки <i>P</i> до прямых <i>KL</i> и <i>MN</i>;

б) отношение длины хорды <i>LM</i> к длине хорды <i>MN</i>.

Пусть <i>M</i> — точка пересечения биссектрис внутреннего угла <i>B</i> и внешнего угла <i>C</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>N</i> — точка пересечения биссектрис внешнего угла <i>B</i> и внутреннего угла <i>C</i>. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> лежит на окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>.

На стороне <i>AD</i> вписанного в окружность четырёхугольника <i>ABCD</i> находится центр окружности, касающейся трёх других сторон четырёхугольника. Найдите <i>AD</i>, если <i>AB</i> = 2 и <i>CD</i> = 3.

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.