Математическая задача: четырёхугольник ABCD и точка M на стороне AD
Задача
В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезок CM, соединяющий вершину C с точкой M, расположенной на стороне AD, пересекает диагональ BD в точке K. Известно, что CK : KM = 2 : 1, CD : DK = 5 : 3 и
$\angle$ABD + $\angle$ACD = 180o. Найдите отношение стороны AB к диагонали AC.
Решение
Обозначим $\angle$ADB = $\alpha$, $\angle$ADC = $\beta$. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. По теореме синусов
$\displaystyle {\frac{AB}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ABD}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin (180^{\circ } - \angle ACD)}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ACD}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \beta}}$,
откуда находим, что${\frac{AB}{AC}}$=${\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$.
Пусть MK = x, CD = 5y,
$\angle$CMD = $\gamma$. Рассмотрим треугольники MDK и
MDC. По теореме синусов
$\displaystyle {\frac{x}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{3y}{\sin \gamma}}$, $\displaystyle {\frac{3x}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{5y}{\sin \gamma}}$,
откуда находим, что
sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{x\sin \gamma}{3y}}$, sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{3x\sin \gamma}{5y}}$.
Следовательно,
$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{9}}$.
Ответ
5:9.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет