Математическая задача: четырёхугольник ABCD и точка M на стороне AD

Обозначим $\angle$ADB = $\alpha$, $\angle$ADC = $\beta$. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AB}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ABD}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin (180^{\circ } - \angle ACD)}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ACD}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \beta}}$,

откуда находим, что${\frac{AB}{AC}}$=${\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$. Пусть MK = x, CD = 5y, $\angle$CMD = $\gamma$. Рассмотрим треугольники MDK и MDC. По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{x}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{3y}{\sin \gamma}}$, $\displaystyle {\frac{3x}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{5y}{\sin \gamma}}$,

откуда находим, что

sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{x\sin \gamma}{3y}}$, sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{3x\sin \gamma}{5y}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{9}}$.