Площадь остроугольного треугольника с заданными высотами — задание оли
Задача
В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2$\sqrt{2}$, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.
Решение
Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC, H — точка их пересечения; AA1 = 3, BB1 = 2$\sqrt{2}$. Обозначим
$\displaystyle \angle$CAB = $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \beta$, HC1 = x.
Тогда
CC1 = 6x, $\displaystyle \angle$AHC1 = $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \angle$BHC1 = $\displaystyle \alpha$.
Из прямоугольных треугольниковAA1BиBB1Aнаходим, что
AB = $\displaystyle {\frac{3}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{\sin \alpha}}$.
Поэтомуsin$\beta$=${\frac{3\sin \alpha}{2\sqrt{2}}}$.
Из прямоугольных треугольниковBC1CиBC1Hнаходим, что
BC1 = $\displaystyle {\frac{6x}{{\rm tg }\beta}}$ = xtg$\displaystyle \alpha$.
Поэтому
tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$ = 6 $\displaystyle \Rightarrow$ sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$ = 6 cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ $\displaystyle \Rightarrow$ sin2$\displaystyle \alpha$sin2$\displaystyle \beta$ = 36 cos2$\displaystyle \alpha$cos2$\displaystyle \beta$.
Подставим в последнее уравнение
sin2$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{9\sin ^{2}\alpha}{8}}$, cos2$\displaystyle \beta$ = 1 - sin2$\displaystyle \beta$ = 1 - $\displaystyle {\frac{9\sin ^{2}\alpha}{8}}$, cos2$\displaystyle \alpha$ = 1 - sin2$\displaystyle \alpha$.
Получим уравнение
35 sin4$\displaystyle \alpha$ - 68 sin2$\displaystyle \alpha$ + 32 = 0,
из которого находим, чтоsin$\alpha$=${\frac{2}{\sqrt{5}}}$($\alpha$и$\beta$меньше90o).
Поэтому
cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5}}}$, sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{10}}}$, cos$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{3}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle \sqrt{10}$.
Из треугольникаABCнаходим по теореме синусов:
AC = $\displaystyle {\frac{AB\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}}$ = 3$\displaystyle \sqrt{2}$.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . AC sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{10}$ . 3$\displaystyle \sqrt{2}$ . $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ = 6.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет