Площадь остроугольного треугольника с заданными высотами — задание оли

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — высоты треугольника ABC, H — точка их пересечения; AA₁ = 3, BB₁ = 2$\sqrt{2}$. Обозначим

$\displaystyle \angle$CAB = $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \beta$, HC₁ = x.

Тогда

CC₁ = 6x, $\displaystyle \angle$AHC₁ = $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \angle$BHC₁ = $\displaystyle \alpha$.

Из прямоугольных треугольниковAA₁BиBB₁Aнаходим, что

AB = $\displaystyle {\frac{3}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{\sin \alpha}}$.

Поэтомуsin$\beta$=${\frac{3\sin \alpha}{2\sqrt{2}}}$. Из прямоугольных треугольниковBC₁CиBC₁Hнаходим, что

BC₁ = $\displaystyle {\frac{6x}{{\rm tg }\beta}}$ = xtg$\displaystyle \alpha$.

Поэтому

tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$ = 6  $\displaystyle \Rightarrow$  sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$ = 6 cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$  $\displaystyle \Rightarrow$  sin²$\displaystyle \alpha$sin²$\displaystyle \beta$ = 36 cos²$\displaystyle \alpha$cos²$\displaystyle \beta$.

Подставим в последнее уравнение

sin²$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{9\sin ^{2}\alpha}{8}}$, cos²$\displaystyle \beta$ = 1 - sin²$\displaystyle \beta$ = 1 - $\displaystyle {\frac{9\sin ^{2}\alpha}{8}}$, cos²$\displaystyle \alpha$ = 1 - sin²$\displaystyle \alpha$.

Получим уравнение

35 sin⁴$\displaystyle \alpha$ - 68 sin²$\displaystyle \alpha$ + 32 = 0,

из которого находим, чтоsin$\alpha$=${\frac{2}{\sqrt{5}}}$($\alpha$и$\beta$меньше90^o). Поэтому

cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5}}}$, sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{10}}}$, cos$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{3}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle \sqrt{10}$.

Из треугольникаABCнаходим по теореме синусов:

AC = $\displaystyle {\frac{AB\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}}$ = 3$\displaystyle \sqrt{2}$.

Следовательно,

S_{$\scriptstyle \Delta$ABC} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB ^. AC sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{10}$ ^. 3$\displaystyle \sqrt{2}$ ^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ = 6.