Расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей треугол
Нет ответа
Задача
Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC, ra — радиус вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны BC. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен R2 + 2Rra.
Решение
Пусть O и Oa — центры указанных окружностей, D — точка пересечения отрезка AOa с описанной окружностью треугольника ABC. Докажем сначала, что OaD = BD.
Обозначим углы A, B, C треугольника ABC через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. Поскольку луч BD — биссектриса внешнего угла B данного треугольника, то
$\displaystyle \angle$CBOa = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(180o - $\displaystyle \beta$) = 90o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$.
Тогда
$\displaystyle \angle$DBOa = $\displaystyle \angle$CBOa - $\displaystyle \angle$CBD = $\displaystyle \angle$CBOa - $\displaystyle \angle$CAD = 90o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$.
С другой стороны,ADB— внешний угол треугольникаBDOaи$\angle$ADB=$\angle$ACB=$\gamma$, поэтому
$\displaystyle \angle$BOaD = $\displaystyle \angle$ADB - $\displaystyle \angle$DBOa = $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = $\displaystyle \angle$DBOa.
Значит, треугольникBDOa— равнобедренный,OaD=BD.
Пусть вневписанная окружность касается продолжения стороны AB
в точке K, а прямая OaO пересекает описанную окружность в точках M
и N (M между Oa и N). Поскольку произведение всей секущей на её
внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно, то
OO2a - R2 = (OOa + R)(OOa - R) = (OOa + ON)(OOa - OM) =
= OaN . OaM = OaA . OaD = OaA . BD =
= $\displaystyle {\frac{O_{a}K}{\sin \angle O_{a}AK}}$ . 2R sin$\displaystyle \angle$OaAK = 2Rra.
Следовательно,
OO2a = R2 + 2Rra.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет