Олимпиадная задача по планиметрии: точки A₁, B₁, C₁ и пересечение в M

Задача

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Докажите, что если:

а) два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;

б) два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.

Решение

а) Пусть MA₁CB₁ и MB₁AC₁ — вписанные четырёхугольники. Тогда

$\displaystyle \angle$A₁MB₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ACB, $\displaystyle \angle$B₁MC₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$BAC,

поэтому

$\displaystyle \angle$A₁MC₁ = 360^o - ($\displaystyle \angle$A₁MB₁ + $\displaystyle \angle$B₁MC₁) = $\displaystyle \angle$ACB + $\displaystyle \angle$BAC = 180^o - $\displaystyle \angle$ABC.

Следовательно,MA₁BC₁— вписанный четырёхугольник. б) Докажем сначала следующее утверждение.

Пусть в выпуклом четырехугольнике XYZT нет параллельных сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых XY и TZ, YZ и XT соответственно (точка X лежит на отрезке YE, а точка Z — на отрезке YF). Для того, чтобы четырёхугольник XYZT был описанным необходимо и достаточно, чтобы

ET + YF = TF + YE.

Необходимость. Дано: XYZT — описанный четырехугольник. Пусть касательные к вписанной окружности из точек X, Y, Z, T, E и F равны соответственно x, y, z, t, e и f. Тогда

ET = e - t, YF = y + f, TF = f - t, YE = y + e.

Значит,

ET + YF = e - t + y + f, TF + YE = f - t + y + e.

Следовательно,ET+YF=TF+YE. Достаточность. Пусть выполняется равенство ET + YF = TF + YE. Тогда

YF - TF = YE - ET.

Докажем, что биссектрисы угловYEZ,YFXиXYZпересекаются в одной точке. Отсюда будет следовать, чтоXYZT— описанный четырёугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена отXYиZT,YZиXT, а также отXYиYZ.) Возьмём на продолжении отрезка EX за точку X такую точку K, чтобы EK = ET, а на продолжении отрезка FZ за точку Z — такую точку S, чтобы FS = FT. Поскольку

YK = YE - EK = YE - ET, YS = YF - SF = YF - TF,

то из условия следует, чтоYK=YS. Рассмотрим треугольник KTS. Серединный перпендикуляр к стороне KT этого треугольника является биссектрисой угла KET (или угла YEZ). Это следует из равнобедренности треугольника KET. Аналогично докажем, что серединный перпендикуляр к стороне ST есть биссектриса угла SFT (или угла YFX), а серединный перпендикуляр к стороне SK — биссектриса угла KYS (или угла XYZ).

Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника KTS. Утверждение полностью доказано.

Пусть теперь MA₁CB₁ и MB₁AC₁ — описанные четырёхугольники. Тогда

AM + BC = BM + AC, CM + AB = BM + AC,

поэтому

AM + BC = CM + AB.

Следовательно,MA₁BC₁— описанный четырёхугольник.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задание олимпиады: вписанные и описанные четырехугольники в треугольни

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления