Математическая задача: точки M и N и описанная окружность треугольника
Нет ответа
Задача
Пусть M — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C треугольника ABC, а N — точка пересечения биссектрис внешнего угла B и внутреннего угла C. Докажите, что середина отрезка MN лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение
Пусть P — середина MN. Поскольку $\angle$NBM = $\angle$NCM = 90o, то точки M, N, B и С лежат на окружности с диаметром MN и центром P. Тогда
$\displaystyle \angle$MNC = $\displaystyle \angle$MBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B, $\displaystyle \angle$NMB = $\displaystyle \angle$NCB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$C.
ПустьQ— точка пересечения биссектрисBMиCN. По теореме о
внешнем угле треугольника
$\displaystyle \angle$BQN = $\displaystyle \angle$MNQ + $\displaystyle \angle$NMQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$C.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$BNC = 90o - $\displaystyle \angle$BQN = 90o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$C = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$A.
Поэтому$\angle$BPC=$\angle$A, т.е. точкаPлежит на окружности,
описанной около треугольникаABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет