Математическая задача: точки M и N и описанная окружность треугольника

Пусть P — середина MN. Поскольку $\angle$NBM = $\angle$NCM = 90^o, то точки M, N, B и С лежат на окружности с диаметром MN и центром P. Тогда

$\displaystyle \angle$MNC = $\displaystyle \angle$MBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B, $\displaystyle \angle$NMB = $\displaystyle \angle$NCB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$C.

ПустьQ— точка пересечения биссектрисBMиCN. По теореме о внешнем угле треугольника

$\displaystyle \angle$BQN = $\displaystyle \angle$MNQ + $\displaystyle \angle$NMQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$C.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$BNC = 90^o - $\displaystyle \angle$BQN = 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$C = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$A.

Поэтому$\angle$BPC=$\angle$A, т.е. точкаPлежит на окружности, описанной около треугольникаABC.