Олимпиадная задача по планиметрии: треугольник ABC и точка K
Задача
Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Касательная к окружности в точке C пересекается с прямой, делящей пополам угол B треугольника, в точке K, причём угол BKC равен половине разности утроенного угла A и угла C треугольника. Сумма сторон AC и AB равна 2 + $\sqrt{3}$, а сумма расстояний от точки O до сторон AC и AB равна 2. Найдите радиус окружности.
Решение
Пусть указанная касательная пересекает продолжение биссектрисы угла B в точке K так, что точки K и B лежат по разные стороны от прямой AC. Если H — точка пересечения прямой BK с окружностью, то
$\displaystyle \angle$BHC = $\displaystyle \angle$A, $\displaystyle \angle$HCK = $\displaystyle \angle$HBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B
(как угол между касательной и хордой). Тогда
$\displaystyle \angle$BKC = $\displaystyle \angle$BHC - $\displaystyle \angle$HCK = $\displaystyle \angle$A - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(2$\displaystyle \angle$A - $\displaystyle \angle$B) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(2$\displaystyle \angle$A - 180o + $\displaystyle \angle$A + $\displaystyle \angle$C) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(3$\displaystyle \angle$A + $\displaystyle \angle$C - 180o).
Поскольку по условию задачи$\angle$BKC=${\frac{1}{2}}$(3$\angle$A-$\angle$C),
то
3$\displaystyle \angle$A + $\displaystyle \angle$C - 180o = 3$\displaystyle \angle$A - $\displaystyle \angle$C.
Отсюда находим, что$\angle$C= 90o. В этом случае точкаO—
серединаABи, еслиP— серединаAC, тоOP= 2,BC= 4, что
невозможно, т.к.AB+AC= 2 +$\sqrt{3}$< 4 =BC.
Следовательно, точкиBиKлежат по одну сторону от прямойAC.
С помощью рассуждений, аналогичным приведённым выше, установим,
что
$\angle$A = 30o.
Предположим теперь, что центр O лежит внутри треугольника. Пусть Q — середина AB. Тогда
$\displaystyle \angle$POQ = 150o, PQ2 = OQ2 + OP2 + 2OQ . OP cos 30o =
= (OP + OQ)2 - (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$)OQ . OP =
= 4 - (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$)OQ . (2 - OQ) $\displaystyle \geqslant$ 4 - (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$) . 1 . 1 = 2 + $\displaystyle \sqrt{3}$.
ПоэтомуBC= 2PQ$\geqslant$2$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$, что невозможно, т.к.
BC < AB + AC = 2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ (2$\displaystyle \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ > 2 + $\displaystyle \sqrt{2 + \sqrt{3}}$).
ЦентрOне может лежать и на сторонеAC, т.к. в этом случаеBC= 4, что невозможно. Следовательно, центрOлежит вне
треугольникаABC.
Предположим, что точки O и B лежат по разные стороны от
прямой AC. Опишем окружность около четырёхугольника AQPO (AO = R —
её диаметр) и обозначим
$\angle$OAP = $\alpha$. Тогда
OP = OA sin$\displaystyle \alpha$ = R sin$\displaystyle \alpha$, OQ = R sin($\displaystyle \alpha$ + 30o),
AQ = R cos($\displaystyle \alpha$ + 30o), AP = R cos$\displaystyle \alpha$.
По условию задачи
R sin$\displaystyle \alpha$ + R sin($\displaystyle \alpha$ + 30o) = 2, R cos$\displaystyle \alpha$ + R cos($\displaystyle \alpha$ + 30o) = 1 + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.
Отсюда следует, что
R cos 15osin($\displaystyle \alpha$ + 15o) = 1, R cos 15ocos($\displaystyle \alpha$ + 15o) = $\displaystyle {\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$.
Возведём обе части полученных равенств в квадрат и сложим их
почленно:
R2cos215o = 1 + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right)^{2}_{}$.
Следовательно,
R2 = $\displaystyle {\frac{1}{\cos ^{2} 15^{\circ}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{1 + \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^{2}}\right.$1 + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\right)^{2}_{}$$\displaystyle \left.\vphantom{1 + \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}}{2}}$.
Аналогично для случая, когда точкиOиCрасположены по
разные стороны от прямойAB.
Ответ
${\frac{\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}}{2}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет